Blog

Câu hỏi:

Giả sử đồ thị hàm số $y=\left(m^2+1\right)x^4-2m{x}^2+m^2+1$ có 3 điểm cực trị là A, B, C mà $x_A<x_B<x_C$. Khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC ta được một khối tròn xoay. Giá trị của m để thể tích của khối tròn xoay đó lớn nhất thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

A. (4;6)

B. (2;4)

Đáp án chính xác

C. (-2;0)

D. (0;2)

Trả lời:

Chọn B

$y^{‘}=4\left(m^2+1\right)x^3-4mx=4x\left[\left(m^2+1\right)x^2-m\right]y^{‘}=0\iff 4x\left[\left(m^2+1\right)x^2-m\right]=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=\pm \sqrt{\frac{m}{m^2+1}}\left(m>0\right)\end{array}\right.$
Với m > 0 thì đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị (với $x_A<x_B<x_C$) là

$A\left(-\sqrt{\frac{m}{m^2+1}};-\frac{m^2}{m^2+1}+m^2+1\right);\text{ B}\left(0;m^2+1\right)\text{C}\left(\sqrt{\frac{m}{m^2+1}};-\frac{m^2}{m^2+1}+m^2+1\right)$
 
Quay $\Delta ABC$ quanh AC thì được khối tròn xoay có thể tích là
$V=2.\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{2}{3}\pi B{I}^2.IC=\frac{2}{3}\pi {\left(\frac{m^2}{m^2+1}\right)}^2.\sqrt{\frac{m}{m^2+1}}=\frac{2}{3}\pi \sqrt{\frac{m^9}{{\left(m^2+1\right)}^5}}$
Xét hàm $f\left(m\right)=\frac{m^9}{{\left(m^2+1\right)}^5}$
Ta có $f^{‘}\left(m\right)=\frac{m^8\left(9-m^2\right)}{{\left(m^2+1\right)}^6};\left(m\right)=0\iff m=3\left(m>0\right)$
Ta có bảng biến thiên

Vậy thể tích cần tìm lớn nhất khi m = 3

====== QUIZ math 12 =====