Giá trị của \(I = \int\limits_{\sqrt 5 }^{2\sqrt 3 } {\frac{1}{{x\sqrt {{x^2} + 4} }}dx} \) là – 2023


Câu hỏi:

Giá trị của \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin 2x + \sin x}}{{\sqrt {1 + 3\cos x} }}dx} \) là

A. \(I = \frac{{16}}{{27}}.\)

B. \(I = \frac{{43}}{{27}}.\)

C. \(I = \frac{{11}}{{27}}.\)

D. \(I = \frac{{34}}{{27}}.\)

Đáp án chính xác

Trả lời:

Hướng dẫn giải
Đặt \(u = \sqrt {1 + 3\cos x} \Rightarrow \cos x = \frac{{{u^2} – 1}}{3}\) nên \(\sin xdx = – \frac{2}{3}udu\).
Đổi cận

x

0

\(\frac{\pi }{2}\)

u

2

1

Ta viết \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin x\left( {2\cos x + 1} \right)}}{{\sqrt {1 + 3\cos x} }}dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{2\cos x + 1}}{{\sqrt {1 + 3\cos x} }}\sin xdx.} \)
Khi đó \(I = \int\limits_2^1 {\frac{{2\left( {\frac{{{u^2} – 1}}{3}} \right) + 1}}{u}.\left( { – \frac{2}{3}udu} \right)} = \frac{4}{9}\int\limits_1^2 {\left( {2{u^2} + 1} \right)} du = \frac{4}{9}\left( {\frac{{2{u^3}}}{3} + u} \right)\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle1}^{\scriptstyle2\atop\scriptstyle}} \right. = \frac{{34}}{{27}}.\)
Chọn D.

====== QUIZ math 12 =====



Source link edu

Trả lời